题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．

答案

解：如图，
(1)：连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S，
则，其中0＜x＜30，
所以，，
当且仅当x²=900-x²，即x=时，S取最大值900cm²，
答：取BC为cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm²．
 (2)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，
由，得，
所以，其中0＜x＜30，
由，得x=，
因此在(0，)上是增函数，
在(，30)上是减函数，
所以当x=时，V取得最大值，
答：取BC为cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，
最大值为cm³．