题目

题型：专项题难度：来源：

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）。
（1）当a=3时，求f（x）的零点；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值。

答案

解：（1）由题意f（x）=x²（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3。
（2）设此最小值为m

①当a≤0时，f"（x）>0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
所以m=f（1）=1-a；
②当a>0时，当x＜0或时，f"（x）>0，
从而f（x）在区间[）上是增函数；
当时，f"（x）＜0，
从而，f（x）在区间[0，]上是单减函数
（i）当，即a≥3时，m=f（2）=8-4a；
（ii）当，即时，；
（iii）当时，m=f（1）=1-a
综上所述，所求函数的最小值
。