题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0）。
（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=相切，
①求实数，b的值；
②求函数f（x）在[，e]上的最大值；
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e²]都成立，求实数m的取值范围。

答案

解：（1）①
∵函数在处与直线相切
∴
解得
②
当时，令得
令得
∴在上单调递增
在[1，e]上单调递减
∴。
（2）当b=0时，
若不等式对所有的都成立
则对所有的都成立
即对所有的都成立
令，则为一次函数

∵
∴
∴在上单调递增
∴
∴对所有的都成立
∵
∴
∴。