已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明： - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax²，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明：

．

答案

（I）解：

，
令f′（x）=0，解得x=

，
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，f（x）的单调递增区间是

的单调递减区间是

．
（II）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，

从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，
知1≤α≤2≤β≤3．
故

，即

从而，

核心考点

试题【已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明：】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=x²﹣alnx在（1，2]是增函数，

在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞﹣1时，若

在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

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已知在函数f（x）=mx³﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

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已知函数f（x）=

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

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函数

上的最大值是（）

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如图是一个组合体．它下部的形状是高为10m的圆柱，上部的形状是母线长为30m的圆锥．试问当组合体的顶点O到底面中心

的距离为多少时，组合体的体积最大？最大体积是多少？

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