题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

答案

解：（1）∵函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．
f′（x）=，g′（x）=（x＞0），
由已知得解得
∴两条曲线交点的坐标为（e²，e）．
切线的斜率为k=f′（e²）=，
∴切线的方程为y﹣e=（x﹣e²）．
（2）由条件知h（x）=﹣alnx（x＞0），
∴h′（x）=﹣=，
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²．
∴当0＜x＜4a²时，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上单调递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上单调递增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，
从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a﹣aln（4a²）=2a[1﹣ln （2a）]．
②当a≤0时，h′（x）=＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值．
故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．
（3）证明：由（2）知φ（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），则φ′（a）=﹣2ln （2a）．
令φ′（a）=0，解得a=．
当0＜a＜时，φ′（a）＞0，
∴ φ（a）在（0，）上单调递增；
当a＞时，φ′（a）＜0，
∴φ（a）在（，+∞）上单调递减．
∴φ（a）在a=处取得极大值φ（）=1．
∴φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
∴φ（）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．