题目

题型：山东省期末题难度：来源：

设a为实数，函数f（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e^x＞x²﹣2ax+1．

答案

（1）解：∵f（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=e^x﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a）．
（2）证明：设g（x）=e^x﹣x²+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2﹣1时， g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e^x﹣x²+2ax﹣1＞0，
故e^x＞x²﹣2ax+1．