题目

题型：山东省期末题难度：来源：

已知f（x）=lnx+x²﹣bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=﹣1时，设g（x）=f（x）﹣2x²，求证函数g（x）只有一个零点．

答案

（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f"（x）=+2x﹣b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（+2x）_min（x＞0），
∵x＞0，
∴+2x≥2，当且仅当x=时取“=”，
∴b≤2，
∴b的取值范围为（﹣∞，2]．
（2）证明：当b=﹣1时，g（x）=f（x）﹣2x²=lnx﹣x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴g"（x）=﹣2x+1=﹣，
令g"（x）=0，
∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g"（x）＞0；
当x＞1时，g"（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，
当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．