题目
题型:山东省期末题难度:来源:
(I) 求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值;
(Ⅱ)设F(x)=aln(x﹣1)﹣f(x),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围.
答案
∴当2<x<4时,f′(x)<0,当x>4时,f′(x)>0
∴f(x)在(2,4)上是减函数,在(4,+∞)上是增函数
∴f(x)在[3,7]上的最大值应在端点处取得
f(3)﹣f(7)=[3ln5﹣ln1]﹣[ln625﹣ln729]<0,
∴f(3)<f(7)即当x=7时,f(x)取得在[3,7]上的最大值
(Ⅱ)∵F(x)是单调递增函数,
∴F(x)≥0恒成立
又F′(x)==
显然在f(x)的定义域(2,+∞)上,(x﹣1)(x2﹣4)>0恒成立.
∴(a﹣1)x2+5x﹣4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.
下面分情况讨论(a﹣1)x2+5x﹣4(a+1)>0在(2,+∞)上恒成立时,a的解的情况.
当a﹣1<0时,显然不可能有(a﹣1)x2+5x﹣4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.
当a﹣1=0时(a﹣1)x2+5x﹣4(a+1)=5x﹣8>0在(2,+∞)上恒成立.
当a﹣1>0时,又有两种情况:
①52+16(a﹣1)(a+1)≤0;
②且(a﹣1)﹣22+5×2﹣4(a+1)≥0
由①得16a2+9≤0,无解;
由②得a≥﹣,a﹣1>0,∴a>1
综上所述各种情况,
当a≥1时(a﹣1)x2+5x﹣4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.
∴所求的a的取值范围为[1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=[3ln(x+2)﹣ln(x﹣2)](I) 求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值;(Ⅱ)设F(x)=aln(x﹣1)﹣f(x),若F】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)在(0,2)上的最小值;
(2)设g(x)=﹣x2+2mx﹣4,若对任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
(1)求实数a、b、c的值;
(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)在[﹣2,m]上的最小值.
已知f(x)=Inx,g(x)=+mx+(m<0),直线l与函数f(x)的图象相切,切点的横坐标为1,且直线l与函数g(x)的图象也相切.
(1)求直线l的方程及实数m的值;
(2)若h(x)=f(x+1)﹣g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值;
(3)当0<b<a时,求证:f(a+b)﹣f(2a)<.
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