题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知函数
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（II）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（I）因为，
当a=1，，令f "（x）=0，得x=1，
又f（x）的定义域为（0，+∞），f "（x），f（x）随x的变化情况如下表：

所以x=1时，f（x）的极小值为1．
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（II）因为，且a≠0，
令f "（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）当，即a＜0时，f "（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，得，即
（2）当，即a＞0时，
①若，则f "（x）≤ 0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立
②若，即时，则有

所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，
即a∈（e，+∞）．
由（1）（2）可知：符合题意．