题目

题型：月考题难度：来源：

已知函数f（x）=（x²﹣3x+3）e^x，设t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（2）试判断m，n的大小并说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x_0^∈（﹣2，t），满足=，并确定这样的x₀的个数．

答案

解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e^x+（x²﹣3x+3）e^x，
由f′（x）＞0x＞1或x＜0，
由f′（x）＜00＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，
（2）因为函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（﹣2）=13e﹣2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（﹣2），
从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，
（3）证：∵ ，
∴ ，即为x₀²﹣x₀= ，
令g（x）=x²﹣x﹣ ，
从而问题转化为证明方程g（x）= =0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣ （t﹣1）²=﹣ ，
g（t）=t（t﹣1）﹣ = ，
所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）·g（t）＜0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=﹣ ＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²﹣x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²﹣x﹣6=0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x₀∈（﹣2，t），
满足  ，
且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．