题目

题型：同步题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，
曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

答案

解：（1）由题意有f（0）=c=0，f"（x）=3x²+2ax+b
且f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，
而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，
所以②
联立①②解得a=0，b=﹣3
∴f（x）=x³﹣3x
（2）|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m恒成立
等价于|f（x）_max﹣f（x）_min|≤m
由于2sinα∈[﹣2，2]，2sinβ∈[﹣2，2]，
故只需求出f（x）=x³﹣3x在[﹣2，2]上的最值，
而f′（x）=3x²﹣3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

∴f（x）_max=2，f（x）_min=﹣2
∴f（x）_max﹣f（x）_min|=4≤m
∴m的最小值为4