已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（a+b2）＜（b- - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：黑龙江难度：来源：

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（

a+b

）＜（b-a）ln2．

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′(x)=

1+x

-1．令f′（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(

a+b

)=alna+blnb-(a+b)ln

a+b

=aln

a+b

+bln

a+b

．
由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设0＜a＜b，得

b-a

＞0，-1＜

a-b

＜0，
因此ln

a+b

=-ln(1+

b-a

)＞-

b-a

，
ln

a+b

=-ln(1+

a-b

)＞-

a-b

，
所以aln

a+b

+bln

a+b

＞-

b-a

a-b

=0．
又

a+b

＜

a+b

，
aln

a+b

+bln

a+b

＜aln

a+b

+bln

a+b

．=（b-a）ln

a+b

＜（b-a）ln2
综上0＜g(a)+g(b)-2g(

a+b

)＜(b-a)ln2．

核心考点

试题【已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（a+b2）＜（b-】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．
（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

题型：不详难度：| 查看答案

函数y=x⁴-4x+3在区间[-2，3]上的最大值为______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

-x3+x2，x＜1

alnx， x≥1.

（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

题型：浙江模拟难度：| 查看答案

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P₀（x₀，y₀），满足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）图象上以P₀为切点的切线与直线P₁P₂平等；
（III）当a=

时，设正项数列{a_n}满足：a_n+1=f"（a_n）（n∈N^*），若数列{a_2n}是递减数列，求a₁的取值范围．

题型：黄州区模拟难度：| 查看答案

一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为______（千米/小时）时，火车从甲城开往乙城的总费用最省（已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米）．

题型：不详难度：| 查看答案

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