题目
题型:浙江模拟难度:来源:
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(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
答案
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①当-1≤x≤1时,f"(x)=-x(3x-2),解f"(x)>0得到0<x<
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
从而f(x)在x=
2 |
3 |
2 |
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4 |
27 |
又f(-1)=2,f(1)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.…(4分)
②当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0;当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以f(x)在[1,e]上的最大值为a.
所以当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.…(8分)
(Ⅱ)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,则P,Q只能在y轴的两侧,不妨设P(t,f(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2),且t≠1.…(9分)
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,所以
OP |
OQ |
即:-t2+f(t)•(t3+t2)=0(1)…(10分)
是否存在点P,Q等价于方程(1)是否有解.
若0<t<1,则f(t)=-t3+t2,代入方程(1)得:t4-t2+1=0,此方程无实数解.…(11分)
若t>1,则f(t)=alnt,代入方程(1)得到:
1 |
a |
设h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx+
1 |
x |
所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,从而h(x)≥h(1)=0,
所以当a>0时,方程
1 |
a |
所以,对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.…(15分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=-x3+x2,x<1alnx, x≥1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(II)对f(x)图象上的任意不同两点P1(x1,x2),P(x2,y2)(0<x1<x2),证明f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等;
(III)当a=
3 |
2 |
a |
x |
(Ⅰ)求证:n≥m;
(Ⅱ)确定t的范围使函数f(x)在[-2,t]上是单调函数;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足f′(x0)=
n-m |
t+2 |
A.-5 | B.-11 | C.-29 | D.-37 |
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