题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.
答案
6 |
x |
2(x+1)(x-3) |
x |
由f"(x)>0得(x+1)(x-3)>0,
解得x>3或x<-1.
注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞).
由f"(x)<0得(x+1)(x-3)<0,
解得-1<x<3,
注意到x>0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,3).
综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(0,3).(6分)
(2)当x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,
所以f"(x)=2x-4+
2-a |
x |
2x2-4x+2-a |
x |
设g(x)=2x2-4x+2-a.
①当a≤0时,有△=16-4×2(2-a)=8a≤0
所以f"(x)≥0,f(x)在[e,e2]上单调递增.
所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a(8分)
②当a>0时,△=16-4×2(2-a)=8a>0,
令f"(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+
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2 |
| ||
2 |
令f"(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1-
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2 |
| ||
2 |
10若1+
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2 |
所以f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a.
20若e<1+
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2 |
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2 |
在区间[1+
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2 |
| ||
2 |
a |
2 |
2a |
| ||
2 |
30若1+
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2 |
所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.(14分)
综上所述,
当a≥2(e2-1)2时,f(x)min=e4-4e2+4-2a;
当2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,f(x)min=
a |
2 |
2a |
| ||
2 |
当a≤2(e-1)2时,f(x)min=e2-4e+2-a.(16分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
|
(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
(I)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(II)对f(x)图象上的任意不同两点P1(x1,x2),P(x2,y2)(0<x1<x2),证明f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等;
(III)当a=
3 |
2 |
a |
x |
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