已知函数f（x）=alnx+x2 （a为实常数），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围． |
（1）f′(x)=(x＞0)，当[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
②若-2e2＜a＜-2，当x=时，f′（x）=0；当1≤x＜时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f(x)]min=f()=ln(-)-．
③若a≤-2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，[f(x)]min= | | 1(a≥-2) | | ln(-)-(-2e2＜a＜-2) | | a+e2(a≤-2e2) |
| |
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥(x∈[1，e])
令g(x)=(x∈[1，e])，又g′(x)=，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最大值为g（e）=，所以a的取值范围是[，+∞）． |
核心考点
试题【已知函数f（x）=alnx+x2 （a为实常数），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）】；主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]举一反三
设函数f（x）=lnx+(a∈R)，g(x)=x，F(x)=f(1+ex)-g(x)(x∈R)．
（I）若函数f（x）的图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0时，若x1，x2∈R，且x1≠x2，证明：F()＜；
（Ⅲ）当a=0时，若方程m[f（x）+g（x）]=x2（m＞0）有唯一解，求m的值． |
| 若函数f(x)=lnx-在[1，e]上的最小值为，则实数a的值为______． |
已知函数f（x）=x2+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2（n∈N*）． |
| 设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ） |
已知函数f（x）=+lnx（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最大值和最小值；
（3）求证：lnn＞+++…+（n∈N﹡，且n≥2）． |
