题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

答案

（Ⅰ）f（x）=

1

2

x2+lnx f′(x)=x+

1

x

，当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=

1

2

，f(x)max=f(e)=

1

2

e2+1．
（Ⅱ）设F(x)=

1

2

x2+lnx-

2

3

x3，则 F′(x)=x+

1

x

-2x2=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，
∵x＞1时F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上为减函数，又F（1）=-

1

6

＜0，故在[1，+∞）上，
F（x）＜0，即

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3，∴函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3的图象的下方．
（Ⅲ）∵x＞0，∴[f′(x)]n-f′(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)．
当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，有[f′(x)]n-f′(xn)=

c

1n

xn-1

1

x

+

c

2n

xn-2+…+

c

n-1n

x

1

xn-1

=

c

1n

xn-2+

c

2n

xn-4+…+

c

n-1n

1

xn-2

=

1

2

[

c

1n

(xn-2+

1

xn-2

)+

c

2n

(xn-4+

1

xn-4

)+…+

c

n-1n

(

1

xn-2

+xn-2)]≥

1

2

(2

c

1n

+2

c

2n

+…+2

c

n-1n

)=2n-2=2ⁿ-2．
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．