题目
题型:湖北难度:来源:
(Ⅱ)设a1,b1(k=1,2…,n)均为正数,证明:
(1)若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn,则a1b1a2b2…anbn≤1;
(2)若b1+b2+…bn=1,则
1 |
n |
答案
令f′(x)=
1 |
x |
当0<x<1时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数;
当x>1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上是减函数;
故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0;
(II)(1)由(I)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≤f(1)=0,即lnx≤x-1,
∵ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,从而有lnak≤ak-1,
得bklnak≤akbk-bk(k=1,2…,n),
求和得
ln | b1a1 |
ln | b2a2 |
ln | b3a3 |
ln | bnan |
∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn,
∴
ln | b1a1 |
ln | b2a2 |
ln | b3a3 |
ln | bnan |
∴a1b1a2b2…anbn≤1;
(2)先证
1 |
n |
令ak=
1 |
nbk |
于是由(1)得(
1 |
nb1 |
1 |
nb2 |
1 |
nbn |
1 |
b1b1b2b2…bnbn |
∴
1 |
n |
②再证b1b1b2b2…bnbn≤b12+b22+…+bn2,
记s=b12+b22+…+bn2.令ak=
bk |
s |
则a1b1+a2b2+…+anbn=
1 |
s |
于是由(1)得(
1 |
sb1 |
1 |
sb2 |
1 |
sbn |
即b1b1b2b2…bnbn≤sb1+b2+…bn=s,
∴b1b1b2b2…bnbn≤b12+b22+…+bn2,
综合①②,(2)得证.
核心考点
试题【(Ⅰ)已知函数f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(Ⅱ)设a1,b1(k=1,2…,n)均为正数,证明:(1)若a1b1+a2b】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
3 |
x2 |
2 |
a |
x |
2 |
(1)若a=1,求函数f(x)的值域;
(2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a).
1 |
x |
(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.
13-2tx |
1 |
2 |
(Ⅰ)求证:f(x)≥h(x);
(Ⅱ)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立,则称函数h(x)的图象为函数f(x),g(x)的“边界”.已知函数g(x)=-4x2+px+q(p,q∈R),试判断“函数f(x),g(x)以函数h(x)的图象为边界”和“函数f(x),g(x)的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立?若能同时成立,请求出实数p、q的值;若不能同时成立,请说明理由.
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