题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=-4时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值及相应的x值;
(2)当x∈[1,e]时,讨论方程f(x)=0根的个数.
(3)若a>0,且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|≤|
1 |
x1 |
1 |
x2 |
答案
f′(x)=-
4 |
x |
2(x+
| ||||
x |
当x∈[1,
2 |
所以函数f(x)在[1,
2 |
2 |
由f(1)=-4ln1+12=1,f(e)=-4lne+e2=e2-4,
所以函数f(x)在[1,e]上的最大值为e2-4,相应的x值为e;
(2)由f(x)=alnx+x2,得f′(x)=
a |
x |
2x2+a |
x |
若a≥0,则在[1,e]上f′(x)>0,函数f(x)=alnx+x2在[1,e]上为增函数,
由f(1)=1>0知,方程f(x)=0的根的个数是0;
若a<0,由f′(x)=0,得x=-
-
|
-
|
若
-
|
由f(1)=1>0知,方程f(x)=0的根的个数是0;
若
-
|
由f(1)=1,f(e)=alne+e2=e2+a≤-e2<0,
所以方程f(x)=0在[1,e]上有1个实数根;
若1<
-
|
f(x)在[1,
-
|
-
|
由f(1)=1>0,f(e)=e2+a.
f(x)min=f(
-
|
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
当-
a |
2 |
-
|
当a=-2e时,方程f(x)=0在[1,e]上的根的个数是1.
当-e2≤a<-2e时,f(
-
|
当-2e2<a<-e2时,f(
-
|
(3)若a>0,由(2)知函数f(x)=alnx+x2在[1,e]上为增函数,
不妨设x1<x2,则|f(x1)-f(x2)|≤|
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
x2 |
1 |
x1 |
1 |
x |
a |
x |
1 |
x2 |
1 |
x |
而-2x2+
1 |
x |
1 |
e |
所以,满足a>0,且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|≤|
1 |
x1 |
1 |
x2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)当a=-4时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值及相应的x值;(2)当x∈[1,e]时,讨论方程f(x)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)写出今年商户甲的收益y(单位:万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?说明理由.
x2 |
2 |
(1)当a=2时,求函数f(x)=
x2 |
2 |
(2)当x∈[1,+∞)时,若f(x)≥-5xlnx+3lnx-
3 |
2 |
. |
| . |
. |
| . |
A.0 | B.2 | C.
| D.3 |
lnx |
x |
( I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
( II)当a=1时,对任意x1,x2∈(0,e],求证:f(x1)>g(x2)+
17 |
27 |
( III)令h(x)=f(x)-g(x)•x,问是否存在实数a使得h(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
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