题目

题型：浙江省月考题难度：来源：

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x₁|+|x₂|=2，求b的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求|g（x）|的最大值。

答案

解：（1）∵，
∴，
依题意有-1和2是方程的两根，
∴，
∴，（经检验，适合）
（2）∵，
依题意，是方程f′（x）=0的两个根，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
由，
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为。
（3）证明：∵是方程f′（x）=0的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，

，
∴，当且仅当时取等号。