题目

题型：福建省期末题难度：来源：

已知函数．
（1）若f"（﹣3）=0，求a的值；
（2）若a＞1，求函数发f（x）的单调区间与极值点；
（3）设函数g（x）=f"（x）是偶函数，若过点可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

答案

解：f′（x）=x²+2ax+2a﹣1
（1）∵f"（﹣3）=0，∴9﹣6a+2a﹣1=0， 解得：a=2；
（2）f"（x）=（x+1）（x+2a﹣1），
∵a＞1，由f"（x）=（x+1）（x+2a﹣1）＞0得x＜1﹣2a或x＞﹣1，
所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞）；
由f"（x）=（x+1）（x+2a﹣1）＜0得1﹣2a＜x＜﹣1，
所以f（x）的单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；
且x=1﹣2a是极大值点，x=﹣1是极小值点；
（3）∵g（x）=f"（x）是偶函数，∴a=0
∴，
设曲线线 过点的切线相切于点P（x0， ），
则切线的斜率 k=x₀²﹣1，
∴切线方程为y﹣（）=（x₀²﹣1）（x﹣x₀），
∴点A（1，m）在切线上，
∴m﹣（）=（x₀²﹣1）（1﹣x₀），
解得m=
令h（x）=，
则h′（x）=﹣2x²+2x=2x（1﹣x）=0，
解得x=0，x=1
当x=0时，

h（x）取极小值﹣1，
当x=1时，h（x）取极大值﹣，
∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜﹣．