题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值，且f（1）=﹣1．
（1）试求常数a、b、c的值；
（2）试求f（x） 的单调区间；
（3）试判断x=±1时函数取极小值还是极大值，并说明理由．

答案

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=﹣1时取得极值
∴f′（1）=f′（﹣1）=0，
∴3a+2b+c=0，①
3a﹣2b+c=0．②
又f（1）=﹣1，
∴a+b+c=﹣1．③
由①②③解得a=，b=0，c=﹣．
（2）f（x）=x³﹣x，
∴f′（x）=（x﹣1）（x+1）．
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1；
令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1．
∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调减区间为（﹣1，1）
（3）由（2）知，函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），
单调减区间为（﹣1，1）
∴x=﹣1时，f（x）有极大值；
x=1时，f（x）有极小值．