题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数
g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

答案

解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0， 
即  4b+c+3=0．                 ①
f "（x）=3x²+4bx+c，由已知，f "（2）=12+8b+c=5．
得   8b+c+7=0．                ②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f（x）=x³﹣2x²+x﹣2．
（2）g（x）=x³﹣2x²+x﹣2+mx，g"（x）=3x²﹣4x+1+，
令g"（x）=0．当函数有极值时，△≥0，方程3x²﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g"（x）=0有实根x=，在x= 左右两侧均有g"（x）＞0，故函数g（x）无极值．②当m＜1时，g"（x）=0有两个实根，x₁=（2﹣），x₂=（2+），
当x变化时，g"（x）、g（x）的变化情况如下表：

故在m∈（﹣∞，1）时，函数g（x）有极值；当x=（2﹣）时g（x）有极大值；x=（2+）时g（x）有极小值．