题目
题型:广东省月考题难度:来源:
(1)若a=,解关于x不等式;
(2)证明:关于x的方程2x2+2ax+1=0有两相异解,且f(m)和f(n)分别是函数f(x)的极小值和极大值(m,n为该方程两根,且m>n).
答案
(1)解:a=时,求导函数可得
=.
f(x)的定义域为(﹣,+∞).
当﹣<x<﹣1时,f"(x)>0;
当﹣1<x<时,f"(x)<0;
当x>时,f"(x)>0.
从而,f(x)在(﹣,﹣1),(,+∞)单调增加,在(﹣1,)单调减少.
∵,f()=
∴不等式等价于
∴
∴0≤x<ln22即所求不等式的解集为{x|0≤x<ln22}.
(2)证明:依题意,f(x)的定义域为(﹣a,+∞),
令g(x)=2x2+2ax+1,因为g(﹣a)=1=g(0)>0,
g(x)的对称轴为x=﹣0.5a>﹣a,△=4a2﹣8a>0(a2>2),g(﹣a)=1>0
∴g(x)在(﹣a,+∞)有两个零点.即方程2x2+2ax+1=0有两相异解
由已知f(x)的定义域为{x|x>﹣a}且,
若m,n(m>n)方程2x2+2ax+1=0有两相异解,则f"(x)>0的解集为(﹣a,n)∪(m,+∞)(∵a>0)
核心考点
试题【设函数f(x)=ln(x+a)+x2, (1)若a=,解关于x不等式;(2)证明:关于x的方程2x2+2ax+1=0有两相异解,且f(m)和f(n)分别是函数f】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值=,试求y=f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1]时,设f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若a∈[,]且a为常数,求θ的取值范围.
①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
②函数y=f(x)是周期函数;
③当x∈[﹣3,﹣2]时,f"(x)≥0;
④函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点. 其中正确表述的番号是( ).
(1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值=,试求y=f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1]时,设f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若a∈[,]且a为常数,求θ的取值范围.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a最大时,关于x的方程f(x)=k|x|恰有两个不同的根,求实数k的取值范围.
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