已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x），
（ⅰ）当c=4时，在函数F（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使得F（x）在点M的切线斜率为

，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）若函数F（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

答案

（Ⅰ）依题意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

．由于f(

1-b

)=g(

1-b

)，得(b+1)2=4c．
∵b＞-1，c＞0，
∴b=-1+2

．
（Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
（ⅰ）当c=4时，则b=3，
所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，
若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x²+12x+13=1，
解得：x=-2，y=2，
所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）．
（ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），
若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x₀，此时F′（x）的变化如下：

解析

核心考点

试题【已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

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（-∞，x₀）

x₀

（x₀，+∞）

F′（x）

（-∞，x₁）

x₁

（x₁，x₂）

x₂

（x₂，+∞）

F′（x）

已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[

，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（x）≥t²+t-2的最值．

已知函数y=f（x）在点f（x）处可导，则

lim

h→0

f(x0+3h)-f(x0-2h)

=（　　）

A．f"（x₀）

B．3f"（x₀）

C．

f′(x0)

D．5f"（x₀）

已知函数f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是减函数，求a的最大值；
（2）若f（x）的单调递减区间是(-

，1)，求函数y=f（x）图象过点（1，1）的切线与两坐标轴围成图形的面积．

已知函数Y=f（x）及其导函数Y=F′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P处的切线方程是______．魔方格

已知x=2是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一个极值点
（I）求实数a的值；
（II）求函数f（x）在x∈[

，3]的最大值和最小值．