对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ann+1}的前n项和Sn=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列{

n+1

}的前n项和S_n=______．

答案

y′=-（n+2）2^n-1，
把x=2代入到曲线y=xⁿ（1-x）中得到y=-2ⁿ，
所以切线方程为y+2ⁿ=-（n+2）2^n-1（x-2）
令x=0，解得交点的纵坐标为a_n=（n+1）2ⁿ，
则数列b_n=

n+1

=2ⁿ，
所以数列{

n+1

}的前n项和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2n+1 -2
故答案为2ⁿ⁺¹-2

核心考点

试题【对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ann+1}的前n项和Sn=______．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）的导数f"（x）=（x+1）²（x-1）（x-2），则函数f（x）的极值点的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

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已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x³-ax²+bx-c=0有三个实根x₁，x₂，x₃．
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

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设函数y=f（x）对任意实数x，都有f（x）=2f（x+1），当x∈[0，1]时，f（x）=

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：对于任意的n∈N₊，当x∈[n，n+1]时，都有|f（x）|≤

；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．

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设曲线f（x）=2ax³-a在点（1，a）处的切线与直线2x-y+1=0平行，则实数a的值为______．

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已知曲线y=x² （x＞0）在点P处切线恰好与圆C：x²+（y+1）²=1相切，则点P的坐标为______．

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