题目
题型:不详难度:来源:
(1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值;
(2)设g(x)=x2-x+3b2-2b.当a=1时,若对任意x1∈(0,e],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求b的取值范围;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
1 |
x |
x-1 |
x |
所以当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增.
所以f(x)的极小值为f(1)=1.
(2)若对任意x1∈(0,e],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),等价于f(x1)min≥g(x2)min.
由(1)知当x1∈(0,e]时,f(x1)有极小值为1,即当x1∈(0,e]时,f(x1)min=1,
因为g(x)=x2-x+3b2-2b的对称轴为x=
1 |
2 |
所以g(x)=x2-x+3b2-2b在x2∈[1,2]上单调递增,其最小值为g(1)=3b2-2b,
所以有3b2-2b≤1,解得-
1 |
3 |
故b的取值范围为[-
1 |
3 |
(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)=a-
1 |
x |
ax-1 |
x |
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4 |
e |
②当0<
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
③当
1 |
a |
4 |
e |
所以,此时f(x)无最小值.
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.
核心考点
试题【已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值;(2)设g(x)=x2-x+3b2-2b.当a】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
ax+b |
x2+1 |
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立;
(Ⅲ)已知0<a<b,求证:
lnb-lna |
b-a |
2a |
a2+b2 |
3 |
x |
b |
a |
f2(x2)-f2(x1) |
x2-x1 |
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,求m的值;
(Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
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