题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 写出函数y=f（x）的图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）直线L为函数y=φ（x）的图象上任意一点P（x₀，y₀）处的切线（P为切点），如果函数y=φ（x）图象上所有的点（点P除外）总在直线L的同侧，则称函数y=φ（x）为“单侧函数”．
（i）当a=

1

2

判断函数y=f（x）是否为“单侧函数”，若是，请加以证明，若不是，请说明理由．
（i i）求证：当x∈（-2，+∞）时，e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1．

答案

（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴当x=0时，f（x）=e⁰-a×0=1
所以函数y=f（x）的图象恒过的定点为M（0，1）．
（II）（i）对函数求导数，得f"（x）=e^x-a，
当a=

1

2

时，f"（x）=e^x-

1

2

，
所以函数y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线斜率为k=f"（x₀）=ex0-

1

2

，
可得切线L的方程为：y-y₀=（ex0-

1

2

）（x-x₀）
∵y₀=f（x₀）=ex0-

1

2

x₀，
∴函数y=f（x）图象在点P（x₀，y₀）处的切线L的方程化简，
得：y-（ex0-

1

2

x₀）=（ex0-

1

2

）（x-x₀），即y=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）
设y=g（x）=（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
再记F（x）=f（x）-g（x）=（e^x-

1

2

x）-[（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀）]=e^x-ex0•x+ex0•x₀-ex0，
对F（x）求导数，得F"（x）=e^x-ex0，
当x＞x₀时，F"（x）＞0，得函数F（x）在区间（x₀，+∞）为增函数；
当x＜x₀时，F"（x）＜0，得函数F（x）在区间（-∞，x₀）为减函数，
∴当x=x₀时，F（x）有最小值F（x₀）=0．即F（x）≥0对任意的x∈R，都有F（x₀）≥0，
也就是f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立．
因此，函数f（x）图象上所有的点都位于切线L的上方，由此可得当a=

1

2

时，函数y=f（x）是“单侧函数”．
（ii）由（i）的证明可得e^x+

1

2

x≥（ex0-

1

2

）x+ex0（1-x₀），
取x₀=0，得不等式e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1对任意x∈R都成立…①，
接下来证明

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立：
记函数G（x）=（

1

2

x+1）-[ln（

1

2

x+1）+1]=

1

2

x-ln（

1

2

x+1），
对G（x）求导数，得G"（x）=

1

2

-

1

1 2 x+1

•

1

2

=

x

2(x+2)

∴当x＞0时，G"（x）＞0，得函数G（x）在区间（0，+∞）为增函数；
当-2＜x＜0时，F"（x）＜0，得函数F（x）在区间（-2，0）为减函数，
可得当x=0时，G（x）有最小值G（0）=0，即G（x）≥0对任意的x∈（-2，+∞）都成立．
所以不等式

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立…②，
对照①②可得e^x+

1

2

x≥

1

2

x+1≥ln（

1

2

x+1）+1在区间（-2，+∞）上恒成立，
即当x∈（-2，+∞）时），e^x+

1

2

x≥ln（

1

2

x+1）+1恒成立．