题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，求实数a的值；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值．

答案

（1）求导函数，可得f′（x）=1-

a

x

∴f′（1）=1-a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，
∴1-a=3
∴a=-2；
（2）f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＜0与f（x）≥0恒成立矛盾
∴a≤0不合题意
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna=0
∴a=1．