题目

题型：沈阳模拟难度：来源：

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+4ax+1，g（x）=6a²lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若a≥

3

-1，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂有

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8．

答案

（Ⅰ）设f（x）与g（x）交于点P（x₀，y₀），则有f（x₀）=g（x₀），
即x₀²+4ax₀+1=6a²lnx₀+2b+1（1）
又由题意知f"（x₀）=g"（x₀），即2x0+4a=

6a2

x0

（2）（2分）
由（2）解得x₀=a或x₀=-3a（舍去）
将x₀=a代入（1）整理得b=

5

2

a2-3a2lna（4分）
令h(a)=

5

2

a2-3a2lna，则h"（a）=2a（1-3lna）a∈(0，

3	e

)时，
h（a）递增，a∈(

3	e

，+∞)时h（a）递减，所以h（a）≤h(

3	e

)=

3

2

e

2

3

即b≤

3

2

e

2

3

，b的最大值为

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）不妨设x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞8，
变形得h（x₂）-8x₂＞h（x₁）-8x₁
令T（x）=h（x）-8x，T′(x)=2x+

6a2

x

+4a-8，
∵a≥

3

-1，
∴T′(x)=2x+

6a2

x

+4a-8≥4

3

a+4a-8≥4(

3

+1)(

3

-1)-8≥0，
T（x）在（0，+∞）内单调增，T（x₂）＞T（x₁），同理可证x₁＞x₂命题成立（12分）