题目
题型:不详难度:来源:
已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设是上的增函数.
(ⅰ)求实数m的最大值;
(ⅱ)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
答案
解析
解法一:
(Ⅰ)由及题设得即。
(Ⅱ)(ⅰ)由
得。
是上的增函数,在上恒成立,
即在上恒成立。
设。
,
即不等式在上恒成立
当时,不等式在上恒成立。
当时,设,
因为,所以函数在上单调递增,
因此。
,即。
又,故。
综上,的最大值为3。
(ⅱ)由(ⅰ)得,其图像关于点成中心对称。
证明如下:
因此,。
上式表明,若点为函数在图像上的任意一点,则点也一定在函数的图像上。而线段中点恒为点,由此即知函数的图像关于点成中心对称。
这也就表明,存在点,使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等。
解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)(ⅰ)由
得。
是上的增函数,在上恒成立,
即在上恒成立。
设。
,
即不等式在上恒成立。
所以在上恒成立。
令,,可得,故,即的最大值为3.
(ⅱ)由(ⅰ)得,
将函数的图像向左平移1个长度单位,再向下平移个长度单位,所得图像相应的函数解析式为,。
由于,所以为奇函数,故的图像关于坐标原点成中心对称。
由此即得,函数的图像关于点成中心对称。
这也表明,存在点,是得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等。
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)设是上的增函数.(ⅰ)求实数m的最大值;(ⅱ)当m取最大值】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若在和处有不同的极值,且极大值为4,
极小值为1,求及实数的值;
(2) 若在上单调递增且,求的最大值.
已知函数处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)求的单调区间及极大值、极小值
已知定义在上的三个函数且在处取得极值.
(Ⅰ)求的值及函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:当时,恒有成立;
(Ⅲ)把对应的曲线按向量平移后得到曲线,求与对应曲线的交点个数,并说明理由.
设函数f (x)=ln(x+a)+x2.
(Ⅰ)若当x=1时,f (x)取得极值,求a的值,并讨论f (x)的单调性;
(Ⅱ)若f (x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.
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