题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求实数的值
(Ⅱ)若,且对任意的恒成立,求得最大值
(Ⅲ)当时,证明
答案
因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,
所以f"(e)=3,即a+lne+1=3.所以a=1.(2分)
(2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx,
所以对任意x>1恒成立,即对任意x>1恒成立.(3分)
令,则,(4分)
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.(5分)
因为h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0,
所以函数在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
.(7分)
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).故整数k的最大值是3.(8分)
(3)证明:由(2)知,是[4,+∞)上的增函数,(9分)
所以当n>m≥4时,.(10分)
即n(m﹣1)(1+lnn)>m(n﹣1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n﹣m).(11分)
因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.(12分)
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnn)m>(nmm)n.(14分)
证明2:构造函数f(x)=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx,(9分)
则f"(x)=(m﹣1)lnx+m﹣1﹣mlnm.(10分)
因为x>m≥4,所以f"(x)>(m﹣1)lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm>0.
所以函数f(x)在[m,+∞)上单调递增.(11分)
因为n>m,所以f(n)>f(m).
所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn>m2lnm+mlnm﹣m2lnm﹣mlnm=0.(12分)
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnn)m>(nmm)n.
解析
核心考点
举一反三
(Ⅰ)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若是的极值点,求在上的最大值和最小值.
A. | B. | C. | D.[ |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(1) 若的一个极值点到直线的距离为1,求的值;
(2) 求方程的根的个数.
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