题目
题型:辽宁省高考真题难度:来源:
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。
答案
当a≥0时,,故f(x)在单调增加
当a≤-1时,,故f(x)在单调减少
当-1<a<0时,令,解得
则当时,
时,
故f(x)在单调增加,在单调减少;
(Ⅱ)不妨假设x1>x2
由于a≤-2,故f(x)在(0,+∞)单调减少
所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于 f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2
即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1
令g(x)=f(x)+4x,则
于是
从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x1)≤g(x2)
即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2
故对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。
核心考点
试题【已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。 (I)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。
(I)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论f(x)的单调性。
(Ⅰ)确定b,c的值;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)。 证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)。
(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围。
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