题目

题型：高考真题难度：来源：

设a为实数，函数f(x)=x³-ax²+(a²-1)x在(-∞，0)和(1，+∞)上都是增函数，求a的取值范围．

答案

解：f′(x)=3x²-2ax+(a²-1)，
其判别式△=4a²-12a²+12=12-8a²，
(1)若△=12-8a²=0，即，
当或时，f′(x)＞0，f(x)在（-∞，+∞）上为增函数，
所以。
(2)若△=12-8a²＜0，恒有f′(x)＞0，f(x)在（-∞，+∞）上为增函数，
所以，即；
(3)若，即，
令f′(x)=0，解得，
当x∈(-∞，x₁)或x∈(x₂，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当x∈(x₁，x₂)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
依题意x₁≥0且x₂≤1，
由x₁≥0得，解得；
由x₂≤1得，解得；
从而；
综上，a的取值范围为，
即。