题目
题型:浙江省高考真题难度:来源:
(1)设函数p(x)=f(x)+g(x)。若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;
(2)设函数,否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q"(x2)=q"(x1)成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由。
答案
P "(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5)
因为p(x)在(0,3)上不单调,
所以p"(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根,
由p"(x)=0,得k(2x+1)=-(3x2-2x+5)
即
令t=2x+1,有t∈(1,7),记
则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,
所以,h(t)∈[6,10)
于是
得k∈(-5,-2]
而当k=-2时,p"(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,
故舍去,所以k∈(-5,-2)。
(2)由题意,得当x<0时,
q"(x)=f"(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5
当x>0时,g"(x)=g"(x)=2k2x+k.
因为当k=0时不合题意,所以k≠0
下面讨论k≠0的情形
记A={g"(x)|x>0},B={f"(x)|x<0}
则A=(k,+∞),B=(5,+∞)
(i)当x1>0时,q"(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以要使q"(x2)=q"(x1)成立,只能x2<0,且AB,因此k≥5;
(ii)当x1<0时,q"(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以要使q"(x2)=q"(x1)成立,只能x2>0,且BA,因此k≤5
综合(i)(ii),得k=5。
当k=5时,有A=B
则
即,使得q"(x2)=q"(x1)成立
因为q"(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x2是唯一的。
同理,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q"(x2) =q"(x1)成立
所以k=5满足题意。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中x∈R。(1)设函数p(x)=f(x)+g(x)。若p(x)在区间(0】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)设函数,其中b为实数,
(ⅰ)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α) -g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围。
(Ⅰ)当a≤时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围。
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。
(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)是增函数;
(2)证明:an<an+1<1;
(3)设b∈(a1,1),整数k≥。证明:ak+1>b。
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值。
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