题目

题型：0104 模拟题难度：来源：

设函数（x＞0），其中a为非零实数。
（1）当a=1时，求函数的单调区间；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f(x)＞2恒成立，求a的取值范围。

答案

解：（1），
∵x＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增。
（2），
f(x)＞2在[1，2]上恒成立恒成立。
（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]单减，
，无解；
（Ⅱ）当a＞0时，由f′（x）=0得，
①当，即0＜a＜1时，f(x)在[1，2]递增，
，解得：； 
②当，即1＜a＜4时，f(x)在上递减，在上递增，
，无解；
③当，即a≥4时，f(x)在[1，2]递减，
，无解；
综上：a的取值范围为。