题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=ln（1+x）-x。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）记f（x）在区间[0，π]（n∈N*）上的最小值为b_n，令a_n=ln（l+n）-b_n。
（i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；
（ii）求证：。

答案

解：（1）因为
所以函数定义域为（-1，+）
且
由得-1＜x＜0，f（x）的单调递增区间为（-1，0）
由得x>0，f（x）的单调递增区间为（0，+）。
（2）因为f（x）在[0，n]上是减函数，
所以
则a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n
（i）
＞
又lim
因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）；
（ii）由（i）知
因为[]²=
所以＜（n∈N*）
则＜
即（n∈N*）。