题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=+lnx，
(Ⅰ)若函数f(x)在[1，+∞)上是增函数，求正实数a的取值范围；
(Ⅱ)若a=1，k∈R且k＜，设F(x)=f(x)+(k-1)lnx，求函数F(x)在[，e]上的最大值和最小值。

答案

解：(Ⅰ)由题设可得，
因为函数f(x)在[1，+∞)上是增函数，
所以，当x∈[1，+∞)时，不等式即恒成立，
因为，当x∈[1，+∞)时，的最大值为1，
则实数a的取值范围是[1，+∞)。 
(Ⅱ)a=1，，
，
所以，，
(1)若k=0，则，在上，恒有F′(x)＜0，
所以F(x)在上单调递减，；
(2)k≠0时，，
i)若k＜0，在上，恒有，所以F(x)在上单调递减，
，；
ii)k＞0时，因为，所以，，
所以，所以F(x)在上单调递减，
，；
综上所述：当k=0时，；
当k≠0 且时，。