题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)当a=1时,证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数a的范围;
(3)在(1)的条件下,设数列{an}满足:0<a1<1,且an+1=f(an),求证:0<an+1<an<1。
答案
恒成立,
∴y=g(x)在(0,+∞)上是增函数,g(x)>g(0)=0,
即函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)由,得h(x)=f′(x)=ax-sinx,
若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,则f′(x)=ax-sinx≥0恒成立,
当a≥1,恒有ax≥x≥sinx,此时f′(x)=ax-sinx≥0,
∴y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;
当0<a<1时,h′(x)=a-cosx=0,得cosx=a,在上存在x0,使得cosx0=a;
当x∈(0,x0)时,h′(x)=a-cosx<0,h(x)在(0,x0)上是减函数,
h(x)=f′(x)<f′(0)=0,
这与,f′(x)=ax-sinx≥0恒成立矛盾,
∴a≥1;
(3)由(1)当0<x<1,0=f(0)<f(x)<f(1)=,
当0<a1<1,a=f(a1)∈(0,1),
假设0<ak<1,
则ak+1=,
又,
∵,
∴,即,
∴。
核心考点
试题【设函数f(x)=x2-1+cosx(a>0),(1)当a=1时,证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)设h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。
(1)确定y=f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若h(x)=x·f(x)-x-ax3在(0,2)上有极值,求实数a 的取值范围。
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