已知函数。（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若h（x）=x·f（x）-x-ax3在（0，2）上有极值，求实数a 的取值范围。 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：模拟题难度：来源：

已知函数

。
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若h（x）=x·f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求实数a 的取值范围。

答案

解：（1）由已知函数求导得

设

则

在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，所以f"（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减。
（2）由h（x）=ln（1+x）-x-ax³可得

若a≥0，对任意的x∈（0，+∞），

，

所以h"（x）＜0，
所以h（x）在（0，2）上单调递减，
则f（x）在（0，2）上无极值；
若a＜0，h（x）=x·f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值的充要条件是
φ（x）=3ax²+3ax+1在（0，2）上有零点，
所以φ（0）·φ（2）＜0，解得

综上，a的取值范围是

。

核心考点

试题【已知函数。（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若h（x）=x·f（x）-x-ax3在（0，2）上有极值，求实数a 的取值范围。】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，则函数g（x）=（a+1）·（x³-3x+4）的递减区间是（）。

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对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f"（x）≥0，则必有[ ]
A.f（0）+f（2）＜2f（1）
B.f（0）+f（2）≤2f（1）
C.f（0）+f（2）≥2 f（1）
D.f（0）+f（2）>2f（1）

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已知函数f（x）=sinx-

，x∈[0，π]，

（x₀∈[0，π]）那么下面结论正确的是[ ]
A.f（x）在[0，x₀]上是减函数
B.f（x）在[x₀，π]上是减函数
C.

x∈[0，π]，f（x）＞f（x₀）
D.

x∈[0，π]，f（x）≥f（x₀）

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已知a，b是实数，函数f(x)=x³+ax，g(x)=x²+bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间上单调性一致，
(1)设a＞0，若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b的取值范围；
(2)设a＜0且b≠0，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

题型：江苏高考真题难度：| 查看答案

函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为

[ ]

A.（-1，1）
B.（-1，+∞）
C.（-∞，-1）
D.（-∞，+∞）

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