题目

题型：同步题难度：来源：

已知函数f（x）=。
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）设h（x）=x·f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求a的取值范围。

答案

解：（1）由题知f′（x）=，
设g（x）=-ln（1+x）（x>0），
则g′（x）=在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减。
（2）由h（x）=x·f（x）-x-ax³可得，
h′（x）=-1-3ax²=，
若a≥0，对任意x∈（0，2），h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2）上无极值
若a＜0，h（x）=x·f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值的充要条件是φ（x）=3ax²+3ax+1在（0，2）上有零点，
又φ（x）在（-，+∞）上单调，
∴φ（0）·φ（2）＜0，
解得a＜-
综上，a的取值范围是（-∞，-）。