题目

题型：陕西省高考真题难度：来源：

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中实数a≠0。
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；
（3）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围。

答案

解：（1）∵
又
∴当或时，；
当时，
∴在和内是增函数，在是减函数。
（2）由题意知，
即恰有一根（含重根）
∴≤0，
即-≤a≤，
又，
∴
当时，才存在最小值，
∴
∵，
∴
∴的值域为。
（3）当时，在和内是增函数，g（x）在内是增函数
由题意得，解得a≥1；
当时，f（x）在和内是增函数，g（x）在内是增函数
由题意得，解得a≤-3；
综上可知，实数a的取值范围为。