题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

设函数f（x）=-lnx+ln（x+1），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由。

答案

解：（Ⅰ），
故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）；
（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，
且有，
又n≥2时，，
且，
取整数n₀满足，
则，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）；
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为(-∞，0]。