题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx+x²。
（1）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a>1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的极小值；
（3）设F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点，m，n（0＜m＜n），且2x₀=m+n，证明：函数F（x）在点（x₀，F（x₀））处的切线不可能平行于x轴。

答案

解：（1）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
由题意，知g"（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，
即
又x>0，，当且仅当时等号成立
故，
所以。
（2）由（1）知，

由h"（x）=0，得或（舍去），
∴
∴
①若，则h"（x）＜0，h（x）单调递减；
②若，则h"（x）>0，h（x）单调递增
故当时，h（x）取得极小值，
极小值为。
（3）假设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，
其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意有，
①-②得
所以，
由④得
所以
设∈（0，1），⑤式变为（u∈（0，1）），
设
 
所以函数在（0，1）上单调递增，
因此，，即
也就是，，此式与⑤矛盾，
所以F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线不能平行于x轴。