题目

题型：山东省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R），
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在区间[e，e²]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”。
已知函数f₁（x）=（a-）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=x²+2ax，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，求a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）当a=2时，；
对于，
∴f（x）在区间上为增函数，
∴。
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，
则，
令对x∈（1，+∞）恒成立，
且对x∈（1，+∞）恒成立，
，（*）
①若，
当时，
在，
此时p（x）在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
，也不合题意；
②若，
此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只需满足；
又因为，
h（x）在（1，+∞）上是减函数；
，
综合可知a的取值范围是。