题目
题型:江苏月考题难度:来源:
(1)若a=﹣2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<﹣2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求a的取值范围.
答案
∴,
令f"(x)>0,由x>0得x>1,
∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
(2),
令f"(x)=0,由a<﹣2,x>0得
①当,即﹣2e2<a<﹣2时,f(x)在递减,在递增,
∴当时,.
②当,即a≤﹣2e2时,f(x)在[1,e]递减,
∴当x=e时,f(x)min=a+e2.
(3)f(x)≤(a+2)x化为:alnx+x2﹣(a+2)x≤0,
设g(x)=alnx+x2﹣(a+2)x,据题意,
当x∈[1,e]时,g(x)min≤0,
,
(i)当即a≤2时,当x∈[1,e]时,g"(x)≥0,∴g(x)递增,
∴g(x)min=g(1)=﹣1﹣a≤0,∴a≥﹣1,
∴﹣1≤a≤2;
(ii)当即2<a<2e时,g(x)在递减,递增,
∴,
∵,∴g(x)min<0,
∴2<a<2e符合题意;
(iii)当即a≥2e时,g(x)在[1,e]递减,
∴g(x)min=g(e)=a+e2﹣(a+2)e=(1﹣e)a+e2﹣2e≤2e(1﹣e)+e2﹣2e=﹣e2<0,符合题意,
综上可得,a的取值范围是[﹣1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数),(1)若a=﹣2,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a<﹣2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求f(x)的单调区间以及极值;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象是否为中心对称图形?如果是,请给出严格证明;如果不是,请说明理由.
(0,+∞)上恒成立.
(Ⅰ)①求证:函数在(0,+∞)上是增函数;②当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(Ⅱ)已知不等式ln(x+1)<x在x>﹣1且x≠0时恒成立,求证:….
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
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