题目
题型:江西省月考题难度:来源:
(0,+∞)上恒成立.
(Ⅰ)①求证:函数在(0,+∞)上是增函数;②当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(Ⅱ)已知不等式ln(x+1)<x在x>﹣1且x≠0时恒成立,求证:….
答案
∵xf "(x)>f(x),∴g "(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
从而有在(0,+∞)上是增函数.
②由①知在(0,+∞)上是增函数,
当x1>0,x2>0时,有,
于是有:,
两式相加得:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)
(Ⅱ)由(Ⅰ)②可知:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2),(x1>0,x2>0)恒成立
由数学归纳法可知:xi>0(i=1,2,3,…,n)时,
有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立
设f(x)=xlnx,则xi>0(i=1,2,3,…,n)时,
x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2)(*)恒成立
令,记
又,
又,且ln(x+1)<x
∴(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1﹣)
<﹣(x1+x2+…+xn)<﹣(﹣)=﹣ (**)
将(**)代入(*)中,可知:﹣()
于是
核心考点
试题【已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf "(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.(Ⅰ)①求证:函数在(0,+∞)上是增函数;②当x1>】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
(1)若函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程是x﹣y+b=0,求实数a,b的值; (2)当时,求函数f(x)的单调区间;
(3)若方程f(x)=x2+(2a﹣)x+(a+1)在[0,2]上有两个不等实根,求实数a的取值范围.
B.(﹣∞,﹣1)
C.(﹣1,1)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线为,求实数a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
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