题目

题型：陕西省期末题难度：来源：

设函数f（x）=e^x﹣e^﹣x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f"（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）f（x）的导数f"（x）=e^x+e^﹣x．
由于，
故f"（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g"（x）=f"（x）﹣a=e^x+e^﹣x﹣a，
（i）若a≤2，当x＞0时，g"（x）=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ii）若a＞2，方程g"（x）=0的正根为，
此时，若x∈（0，x₁），则g"（x）＜0，
故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x₁）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上, 满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．