题目
题型:山东省月考题难度:来源:
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a≤时,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(Ⅲ)若二次函数R(x)图象过(4,2)点,对于给定的函数f(x)图象上的点A(x1,y1),当时,探求函数f(x)图象上是否存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴,并说明理由.(参考数据:e=2.71828…)
答案
∴2R(﹣x)﹣2R(x)=0,
∴2R(﹣x)=2R(x),即R(﹣x)=R(x),
∵R(x)=ax2+bx+c,
∴b=0,
∴R(x)=ax2+c.
∵R(x)=ax2+c的最小值为0,
∴a>0,c=0,故R(x)=ax2,
∵R(x)=ax2,h(x)=lnx,f(x)=h(x)﹣R(x),
∴f(x)=lnx﹣ax2,,
令f"(x)=0,解得.
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
f(x)的单调递减区间是(,+∞).
(Ⅱ)∵当0<a≤时,≥1,
∴x0∈[1,3]时,f(x0)的最小值为f(1)与f(3)中的较小者.
又f(1)=﹣a,f(3)=1n3﹣9a,f(1)﹣f(3)=﹣a﹣(ln3﹣9a)=8a﹣1n3.
∴当0<a≤时,f(1)≤f(3),f(x0)的最小值﹣a;
当时,f(1)>f(3),f(x0)的最小值ln3﹣9a.
(Ⅲ)证明:若二次函数R(x)=ax2图象过(4,2)点,则,
所以.
令.
由(Ⅰ)知f(x)在(0,2)内单调递增,故,即g(2)>0.
取,则.
所以存在,使g(x2)=0,
故存在x2∈(2,+∞),使.
所以函数f(x)图象上存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴.
核心考点
试题【已知定义在R上的二次函数R(x)=ax2+bx+c满足2R(﹣x)﹣2R(x)=0,且R(x)的最小值为0,函数h(x)=lnx,又函数f(x)=h(x)﹣R(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)=x没有实数根,求证方程f(f(x))=x也没有实数根;
(Ⅲ)证明:.
(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(II)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(﹣x2+2x﹣4)>0.
已知定义在R上的二次函数R(x)=ax2+bx+c满足2 R(﹣x)﹣2 R(x)=0,且R(x)的最小值为0,函数h(x)=lnx,又函数f(x)=h(x)﹣R(x).
(I)求f(x)的单调区间;
(II)当a≤时,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(III)若二次函数R(x)图象过(4,2)点,对于给定的函数f(x)图象上的点A(x1,y1),当时,探求函数f(x)图象上是否存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴,并说明理由.(参考数据:e=2.71828…)
(1) 讨论函数f(x)的单调性;
(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求实数a的取值范围;
(3)令,试证明:.
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对于x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a﹣1)成立,试求a的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
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