题目

题型：四川省月考题难度：来源：

已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若对于x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
（3）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

答案

解：（1）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为，
所以，，
所以，a=1．
所以，，．
由f"（x）＞0解得x＞2；
由f"（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（2）  ，
由f"（x）＞0解得 ；
由f"（x）＜0解得 ．
所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，当时，函数f（x）取得最小值，．
因为对于x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，
所以，即可． 则．
由解得 ．
所以，a的取值范围是  ．
（3） 依题得 ，则．
由g"（x）＞0解得  x＞1； 
由g"（x）＜0解得  0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^﹣1，e]上有两个零点，所以
，
解得 ． 
所以，b的取值范围是．