题目

题型：山东省月考题难度：来源：

已知定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx+c满足2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）﹣R（x）．
（I）求f（x）的单调区间； 
（II）当a≤时，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x₁，y₁），当时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

答案

解：（I）∵定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx+c满足2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，
∴2 ^R（﹣x）﹣2 ^R（x）=0，
∴2 ^R（﹣x）=2^R（x），即R（﹣x）=R（x），
∵R（x）=ax²+bx+c，
∴b=0，
∴R（x）=ax²+c．
∵R（x）=ax²+c的最小值为0，
∴a＞0，c=0，故R（x）=ax²，
∵R（x）=ax²，h（x）=lnx，f（x）=h（x）﹣R（x），
∴f（x）=lnx﹣ax²，，
令f"（x）=0，解得．
当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：

f（x）的单调递减区间是（，+∞）．
（II）∵当0＜a≤时，≥1，
∴x₀∈[1，3]时，f（x₀）的最小值为f（1）与f（3）中的较小者．
又f（1）=﹣a，f（3）=1n3﹣9a，f（1）﹣f（3）=﹣a﹣（ln3﹣9a）=8a﹣1n3．
∴当0＜a≤时，f（1）≤f（3），f（x₀）的最小值﹣a；
当时，f（1）＞f（3），f（x₀）的最小值ln3﹣9a．
（III）证明：若二次函数R（x）=ax²图象过（4，2）点，则，
所以．
令．
由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，
故，即g（2）＞0．
取，则．
所以存在，使g（x₂）=0，
故存在x₂∈（2，+∞），使．
所以函数f（x）图象上存在点B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B连线平行于x轴．